Obliczenia w programie Sage

Należy wejść na http://sagemath.org, kliknąć Try Sage Online i zalogować się (trzeba mieć konto OpenID, np. na http://google.com).

Należy zainstalować klienta x2go (zgodnie z instrukcją na http://laboratoria.wmi.amu.edu.pl/LTS), zalogować się na serwerze x2go.wmi.amu.edu.pl, uruchomić terminal (Applications -> Accesories -> Roxterm), wydać polecenie sage, a następnie notebook().

Metody tej można również użyć z komputerów na wydziale.

Uruchamiamy Linuksa, w terminalu uruchamiamy program sage, a następnie włączamy przeglądarkę i wpisujemy adres http://localhost:8080/.

Instalujemy Sage'a zgodnie z instrukcją na http://www.sagemath.org/download.html.

1. Rozłóż na czynniki pierwsze rok swojego urodzenia.
2. Zdefiniuj funkcję \(f(x)=(x^2-1)/(x^2+1)\) i wylicz jej wartości w kilku wybranych punktach (całkowitych, wymiernych i rzeczywistych).
3. Wylicz dokładną wartość \(\sin\frac{\pi}{12}\). Wyświetl ją w notacji "matematycznej" (przy użyciu metody show()), a następnie wyznacz jej przybliżenie z dokładnością do 4 cyfr znaczących.
4. Znajdź setną cyfrę po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym π.
5. Wyświetl tekst pomocy dla metody n().
6. Utwórz komórkę tekstową i wpisz w niej jakiś tekst. Użyj kodowania LaTeX-a, aby wpisać w nim formułę matematyczną. Użyj odpowiedniego narzędzia, żeby wpisać w nim link.
7. Zapisz powstały plik na swoim dysku (możesz użyć polecenia Download All Active w menu The Sage notebook. Wczytaj ponownie zapisane dane (polecenie Upload).

1. Zdefiniuj wyrażenie Delta zależne od zmiennych \(a\), \(b\), \(c\) wzorem \(\Delta=b^2-4ac\).
2. Wylicz wartość Delta dla kilku trójek \(a\), \(b\), \(c\).
3. Wyznacz rozwinięcie dwumianu \((x+a)^6\).
4. Rozwiąż równanie \(x^3-2x^2+x-2=0\).
5. Rozwiąż układ równań \(x+y=5\), \(xy=6\).

1. Wyznacz granice:
   • \(\lim_{x\to 2}\frac{x^2+x-6}{x^2-4}\);
   • \(\lim_{x\to 1^-}\exp{\frac{x}{1-x}}\);
   • \(\lim_{x\to 1^+}\exp{\frac{x}{1-x}}\);
   • \(\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}\).
2. Wyznacz pochodną funkcji \(x^x\).
3. Wyznacz funkcję pierwotną funkcji \(\sin^2 x\).
4. Wylicz całki:
   • \(\int_{0}^1 x^2\,dx\);
   • \(\int_{-\infty}^0 e^x\,dx\). (wskazówka: aby uzyskać symbol \(\infty\), wpisz oo (dwa razy litera "o"))
5. Całkując odpowiednią funkcję liniową, wyznacz wzór ogólny na pole trapezu.
6. Wylicz numerycznie całkę \(\int_0^1 \sin(\cos x)\,dx\).
7. Wylicz sumę szeregów:
   • \(1+2+\dots+100\);
   • \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}\);
   • \(\sum_{n=0}^\infty \frac{4(-1)^n}{2n+1}\).
8. Wyznacz pierwsze 5 wyrazów rozwinięcia McLaurina funkcji
   • \(x\mapsto e^x\);
   • \(x\mapsto \sin x\).
9. Wylicz pochodne cząstkowe funkcji \(f(x,y)=xy+\cos(2x+3y)\) do drugiego rzędu włącznie.
10. Wyznacz wszystkie punkty zerowania się gradientu funkcji \(f(x,y)=x^3+x+xy+y+1\).
11. Wylicz całkę \(\iint_{[0,1]\times[0,1]}xy\,dxdy\).

1. Rozwiąż równanie różniczkowe \(\frac{dy}{dx}=2y+x^2\).
2. Znajdź rozwiązanie szczególne powyższego równania przy warunku \(y(0)=1\).
3. Rozwiąż równanie różniczkowe \(y'=\sin y\).
4. Znajdź rozwiązanie szczególne powyższego równania przy warunku \(y(\pi/2)=1\).
5. Rozwiąż równanie różniczkowe \(y''-2y'+y=e^x\).
6. Znajdź rozwiązanie szczególne powyższego równania przy warunkach \(y(0)=y'(0)=1\).
7. Rozwiąż układ równań \[\left\{\begin{aligned}x'&=2x-3y+1\\y'&=3x+2y-2\end{aligned}\right.\]
8. Znajdź numerycznie rozwiązania zagadnień Cauchy'ego 2. i 4.

1. Narysuj wykres \(y=x^3-x\) dla \(x\in[-2,2]\).
2. Narysuj na jednym rysunku wykresy \(y=x\) i~\(y=\sin x\) dla \(x\in[-\pi,\pi]\).
3. Narysuj wykres \(y=\frac{1}{x}\) dla \(x\in[-5,5]\). Ustaw odpowiednio zakres zmienności \(y\).
4. Narysuj wykres \(z=x^2-y^2\).
5. Narysuj powierzchnię o równaniu \(x^4+y^2+z^3=1\) dla \(x,y,z\in[-2,2]\).
6. Narysuj epicykloidę, linię śrubową i torus, korzystając z ich przedstawień parametrycznych (jeśli ich nie znasz, poszukaj ich np. na Wikipedii).
7. Narysuj spiralę Archimedesa i logarytmiczną na jednym rysunku.